Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）证明：当时，；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）构造函数，对其进行求导，再对导函数进行求导，进而判断出函数在上单调递增，结合，从而证得，即原不等式成立；

（2）先由特殊值求得，再用反证法证明该范围能使时不等式恒成立.由（1）的结论，当时将恒成立的不等式转化为.由得，则可构造函数，证明.利用导函数，以及重要不等关系“”分别证明时和时，，则不等式得证，从而求得.

解：（1）令

，

所以，

令，

，

则成立，在单调递增，

，即成立，

所以在单调递增，得，

即当时，，得证；

（2）因为当时，恒成立，

令得，所以，

下证当时原不等式成立

由（1）知当时，

只需证明，

因为当时，，

故只需证明，

令，

所以，

①当时，

成立，在单调递增，

成立，

②当时，

由不等式知，

所以成立，

综上原不等式得证，故实数的取值范围为：.