Question

【题目】设点为平面直角坐标系中的一个动点（其中为坐标系原点），点到定点的距离比到直线的距离大1，动点的轨迹方程为.

（1）求曲线的方程；

（2）若过点的直线与曲线相交于、两点.

①若，求直线的直线方程；

②分别过点，作曲线的切线且交于点，是否存在以为圆心，以为半径的圆与经过点且垂直于直线的直线相交于、两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②

【解析】

（1）根据已知条件得出动点满足的等量关系，然后坐标表示等量关系，化简即可得到曲线的方程；

（2）①设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理和求解即可；②由过的切线方程联立得点坐标，再根据点到点的距离及的距离表示出，然后利用导数求出其范围.

解：（1）设点到直线的距离为.

由题意知，∵，

∴，化简得为所求方程.

（2）①由题意知，直线的斜率必存在，因为直线过点，

所以设直线的方程为

联立，消得，设，

∴，，

又∵，∴，

∴，或，，

∴或，

∴直线的方程为或.

②

过点的切线方程为，①

过点的切线方程为，②

联立①②得，

∴，即，

∴，

又∵点到直线的距离为，

∴，∴.

又∵，

∴.

令，，

∴，

∴在上单调递增，∴，

∴，

∴的取值范围为.