Question

【题目】如图，在多面体中，四边形是平行四边形，平面平面，为正三角形，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）分别取，的中点连结，，，先证，再证平面，然后可得平面，又平面，可证平面平面；

（2）先建立空间直角坐标系，然后分别求出平面的法向量为和平面的法向量为，然后代入公式计算即可.

（1）如图，分别取，的中点连结，，，

可得，，

∵四边形是平行四边形，∴，，

又平面，平面，

∴平面，

又平面，

且平面平面，∴，

∵，∴，，

∴四边形为平行四边形，∴，

又为正三角形，

∴，，

在中，，，

满足，∴，即，

∴，又，，

∴平面，∴平面，

∵平面，∴，

又，∴平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面；

（2）由（1）得建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得，，，，， ，

设平面的法向量为，

，令，则，，

∴，

又，，

设平面的法向量为，

，解得，令，则，

∴，

∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.