Question

【题目】如图所示，已知四边形是菱形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；

（2）设与交于点O，连接，可证平面.以O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即求二面角的余弦值.

（1）证明：菱形中，，

又平面平面，平面平面，

平面.又平面，

平面平面.

（2）设与交于点O，连接，因为，且，

四边形是平行四边形，.

，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

以O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示

则，，，，

，.

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

.

又平面的法向量为.

设二面角的大小为，则为锐角.

，

二面角的余弦值为.