Question

【题目】已知函数．

(I)讨论的单调性；

(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．

解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，

①当时，，f(x)在上为增函数.

②当a>0时，由得；

由得,

所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.

综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数

②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.

(Ⅱ)①当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.

②当a<0时，，因为，所以不恒成立，舍去.

③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.

下面先证明：.

设，因为，

所以p(a)在上为增函数.

所以，因此有.

所以f(x)在上为增函数.

所以.

设，则，.

由得；由得.

所以在上为减函数，在上为增函数.

所以.

所以q(a)在上为增函数，

所以.所以.

所以恒成立.

故a>0符合题意.

综上可知，a的取值范围是.