Question

【题目】已知函数，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在函数的图象上任意取定两点，，记直线的斜率为，求证：存在唯一，使得成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导得，分类讨论和，利用导数研究函数的单调性和极值，结合，结合极值与最值关系可求出的值；

（Ⅱ）根据题意，由直线的斜率公式并转化后得，构造函数，并利用导数研究函数的单调性，将证明存在唯一，使得成立，转化为证明不等式，即可，分别求出和，再构造函数并根据导数研究单调性和利用导数证明不等式，即可证出.

解：（Ⅰ）由题可知，，则的定义域为，

则，

由于，

当时，因为，所以不满足题意；

当时，令，解得，

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

故是在的唯一最小值点，

由于，所以当且仅当，

即时，，故.

（Ⅱ）由题意知，

令，

则，故在区间上单调递增，

故要证：存在唯一，使得成立，

只需证：，即可，

，

，

令，，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

故，

令时，有，

又因为，，因此，

由，令，得，

令时，有，

又因为，因此，

综上，存在唯一，使得成立.