Question

【题目】三棱锥中，顶点在底面的投影为的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

若设在底面的投影为，分别作于点，于点，于点，则．依题意，为的内心，则，故，再利用三个侧面的面积分别为12，16，20，可得，从而求出，然后求内切圆半径，再求出三棱锥的体积，再用，可求出内切球的半径，从而可求出内切球的表面积.

解法一：不妨设

设在底面的投影为，分别作于点，于点，于点，则．依题意，为的内心，则，故，

又，，，

所以，所以．

令．

所以，解得，所以．

设内切圆半径为，则，即，解得，故．

由，得，

所以，

所以，

设三棱锥的内切球的半径为，则

，即，解得，所以三棱锥的内切球的表面积为，故选C．

解法二：不妨设

设在底面的投影为，分别作于点，于点，于点，则．依题意，为的内心，则，

故，且，记为．

所以，故，

所以，所以．

又，，

，

所以，所以．

令．

所以，解得，所以．

设内切圆半径为，由直角三角形内切圆半径公式得．

由题意知三棱锥内切球的球心在上，设为点．由条件知点也在的角平分线上，所以内切球半径，所以三棱锥的内切球的表面积为，

故选：C