Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，为的中点，平面，.

(1)求证：平面平面；

(2)若，，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

(1)通过证明平面与平面都和直线垂直可得；

(2) 以为原点为轴，为轴，过与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角得二面角（要判断二面角的范围）．

(1)证明：∵四边形是菱形，，是等边三角形，又为的中点，∴，而，所以，

又，，∴面ADE.

又平面，平面，所以，又，所以平面，所以平面平面

(2)由(1)平面平面，，则到的距离为1，所以到平面距离是1，以为原点为轴，为轴，过与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，， ，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，，即，

同理可得面的一个法向量

，二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．