Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：.

Answer 1

【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2），见解析

【解析】

（1）当时，求出函数的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数的单调区间；

（2）求得，令，根据函数在区间上有唯一的极值点，得出在上有唯一的解，根据求得的范围，再由由，得到，结合函数的单调性和最值，即可求解．

（1）由题意，函数，

当时，函数.

则，

令，即且，可得，

令，即，可得.

所以当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）由函数，则，

记，

因为在区间上有唯一的极值点，又，

根据二次函数的图象分析可知，只需即可，即，解得，

所以实数的取值范围是，

又由，可得，

所以，

又由函数，可得，

可得函数在上单调递增，且，

所以.