Question

【题目】在等腰直角中，，，点、分别是、的中点.现沿边折起成如图四棱锥，为中点.

（1）证明：面；

（2）当时，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，由中位线定理可证，，由面面平行的判定定理可证面面，由面面平行的性质定理即可证得面；

（2）连结，由勾股定义证得，由线面垂直的判定定理证得面，即可说明，，两两互相垂直，进而以点为原点，，，分别为，，正方向建立空间直角坐标系，再分别表示点C,A,P,B,E的坐标，进而求面与面的法向量，再由数量积中求夹角的计算公式求得余弦值，最后观察下结论.

折前：，，折后：，

（1）证明：（法一）取中点，连结，，则，，又，

∴面面，又面，∴面.

（法二）取中点，连结，，则，，又，，

∴，，∴是平行四边形，∴，

又面，面，∴面.

（2）连结，∵，，∴，又，，

由即得

又，，∴面，∴，

∴，，两两互相垂直，以点为原点，，，分别为，，正方向建如图系.

则，，，，∴，

设面，面，，.

又，，，由即，取；

由，即，取.则，

又二面角为钝角.故二面角的余弦值为.