Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，且.过椭圆的右焦点作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点，且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）易知，设，，根据勾股定理计算得到，得到椭圆方程.

（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据得到和的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案.

（1）由，可知椭圆半焦距，

设，因为，所以，

在△中，，即，所以，

所以，解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.

当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，

则对边所在直线方程为，

另一边所在的直线方程为，则对边所在直线方程为，

联立，得，

由题意知，整理得，

矩形的一边长为，同理，矩形的另一边长为，

，

因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，

所以，则，所以.

综上所述，该矩形面积的取值范围为.