【题目】在四棱锥中
中，
是边长为
的等边三角形，底面
为直角梯形，
，
，
，
．
（1）证明：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
．
【解析】
（1）取
的中点为
，连接
，由
是等边三角形可得
，再由底面
为直角梯形，结合已知的边长可证得
，于是得
平面
，从而证得结果；
（2）由条件可得可知
两两垂直，所以以
为坐标原点建立直角坐标系
，利用向量法求出二面角
的余弦值.
（1）证明：取的中点为，连接，因为是等边三角形，所以．
因为在直角梯形中，
，
，
，所以
所以
为等腰三角形，所以
因为
，所以平面
因为
平面，所以
．
（2）解：因为
，
，
为正三角形的边上的高，所以
．
因为
，所以
，由（1）可知两两垂直．
以为坐标原点建立直角坐标系，则
，
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
则
,即
令
得
．
设平面
的法向量为
则
,即
令
，则
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为．
活力课时同步练习册系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在脱贫攻坚中，某市教育局定点帮扶前进村
户贫困户.驻村工作队对这户村民的贫困程度以及家庭平均受教育程度进行了调査，并将该村贫困户按贫困程度分为“绝对贫困户”与“相对贫困户”，同时按家庭平均受教育程度分为“家庭平均受教育年限
年”与“家庭平均受教育年限
年”，具体调査结果如下表所示：
平均受教育年限 | 平均受教育年限 | 总计 | |
绝对贫困户 | 10 | 40 | 50 |
相对贫困户 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 30 | 70 | 100 |
（1）为了参加扶贫办公室举办的贫困户“谈心谈话”活动，现通过分层抽样从“家庭平均受教育年限年”的
户贫困户中任意抽取
户，再从所抽取的户中随机抽取
户参加“谈心谈话”活动，求至少有
户是绝对贫困户的概率；
（2）根据上述表格判断：是否有
的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关？
参考公式：
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】过椭圆
的左顶点
作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为
，与
轴的交点为
，已知
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线
与椭圆有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
，若
轴上存在一定点
，使得
，求椭圆的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中， 
平面
，四边形
是菱形， 
， 
，且
， 
交于点
， 
是
上任意一点.
（1）求证： 
；
（2）已知二面角
的余弦值为
，若
为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知真命题:“函数
的图象关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”．
（Ⅰ）将函数
的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数
图象对称中心的坐标;
（Ⅱ）求函数
图象对称中心的坐标;
（Ⅲ）已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数
和
,使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题（不必证明）．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设椭圆
的左顶点为
，右顶点为
，已知椭圆
的离心率为
，且以线段
为直径的圆被直线
所截的弦长为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的右焦点为
，过点且斜率为
的直线交椭圆于
两点．若线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
.
（1）求f(x)的最大值；
（2）设函数
，若对任意实数
，当
时，函数
的最大值为
，求a的取值范围；
（3）若数列
的各项均为正数，
，
.求证：
.
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