Question

【题目】如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由已知可得，根据面积公式及基本不等式可得，计算求得，进而可得即可得出结果；

（2）设直线：，则直线：，分别与椭圆方程联立，根据弦长公式及韦达定理化简可得，令，化简可得，根据二次函数性质可知，进而得出，通过直线方程联立可求得交点坐标.

（1）∵，∴，

设，，则，

，

当且仅当时取得最大值，∴，，

∵椭圆的离心率，∴，

又由，∴椭圆的方程为.

（2）设直线：，由，

设，，则，，

，

若，，这时，，

若，则直线：，

由，

同理得，

∴.

设，则（），

，

当时，，∴，

这时，，

当时，：，：，

由

当时，：，：，

由

故当最小时，点的坐标为或.