Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：

（i）；

（ii）证明：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，再令进行二次求导.讨论的取值范围，求出和的解集，也即求出的单调区间；

（2）（i）将代入，得，利用作差法构造函数，根据导函数求出其最大值为0，则原不等式得证；

（ii）由（i）知，即 由此得，则，即，再根据裂项相消法求和，即可证明该不等式.

解：（1）,

令，

①当时，，在上单调递增；

②当时，若，，单调递增，

若，，单调递减；

③当时，若，，单调递减，

若，，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）（i）当时，，所以，

令，则，

若，，单调递增；

若，，单调递减．

，

即，即．

（ii）当时，，．

由（i）知，即，

令得，即，

所以

，

．