Question

【题目】已知椭圆：的短轴长为2,离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于点.

（i）若轴,求直线的斜率；

（ii）判断直线与直线的位置关系,并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）,（ii）,理由见解析

【解析】

(1)根据基本量的关系列式求解即可.

(2) （i）当轴时,可求得的坐标,进而求得直线的方程与的坐标,进而求得直线的斜率.

（ii）联立直线与椭圆的方程, 设,,根据题意求出直线的方程与的坐标,进而得出直线的斜率表达式,代入韦达定理的关系化简即可.

（1）由,,故,得,,

∴椭圆方程为：；

（2）可设：,

①轴,则：,当在轴上方时有,,

∴的方程为：,∴,

∴.

当在轴下方时有,,

∴的方程为：,∴,

∴.

综上有.

②,证明如下：

把代入得,

设,,则,,

∴：,∴,

∴,

由,∴,

∴.