Question

已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.

（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）解：抛物线的焦点为.                         

由题意，得直线的方程为，               

令 ，得，即直线与y轴相交于点.  

因为抛物线的焦点在直线的下方，

所以 ，

解得 .                                              

（Ⅱ）解：由题意，设，，，

联立方程 消去，得，

由韦达定理，得，所以 .                 

同理，得的方程为，.        

对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

所以切线的方程为， 即. 

同理，抛物线在点处的切线的方程为.

联立两条切线的方程

解得，，

所以点的坐标为.                   

因此点在定直线上.                        

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当点时等号成立．      

由，得，验证知符合题意.

所以当时，有最小值.