Question

已知函数f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+a+b．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）求得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+1+b，令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得f（x）的单调
递增区间．
（2）由（1）得f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，由x∈[0，π]，可得-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1．显然a≠0，
分①当a＞0时和②当a＜0时 两种情况，分别根据f（x）的值域，求得a、b的值．

解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+1+b，
∵y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴当2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，…（4分）
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z）时，f（x）是增函数，
故f（x）的单调递增区间是[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）． …（6分）
（2）由（1）得f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，
∵x∈[0，π]，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1．…（8分）
显然a≠0，①当a＞0时，-a≤

2

asin(x+

π

4

)≤

2

a，∴b≤f(x)≤(

2

+1)a+b，
而f（x）的值域是[3，4]，故∴b=3，(

2

+1)a+b=4，
解得：a=

2

-1，b=3；…（11分）
②当a＜0时，a≤

2

asin(x+

π

4

)≤-

2

a，

2

a+a+b≤f（x）≤b，而f（x）的值域是[3，4]，
故有，

2

a+a+b=3，且b=4，解得a=1-

2

，b=4．
综上可得，a=

2

-1，b=3；或a=1-

2

，b=4．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．