Question

已知函数y=

1-(x-1)2

，x∈[1，2]对于满足1＜x₁＜x₂＜2的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁ 
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0
④（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
其中正确结论的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：将函数表达式，化简得（x-1）²+y²=1，其中x∈[1，2]，y≥0．作出它的图象，得到以（1，0）为圆心，半径为1的圆的上半圆的右半部分．再根据直线的斜率公式与函数的单调性，分别对各项中的结论加以验证，可得②③为真命题而①④为假命题，即可得到本题答案．

解答：解：令y=

1-(x-1)2

，化简得（x-1）²+y²=1，其中x∈[1，2]，y≥0
得函数的图象为以（1，0）为圆心，半径为1的圆的上半圆的右半部分，如图所示
对于①，f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁等价于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1
观察图象，可得在图象上任意取两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））
线段AB的斜率为负数，故不等式

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1不成立，得①不正确；
对于②，注意到x₂、x₁都是正数，
不等式x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）等价于

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，
结合1＜x₁＜x₂＜2，可得A、B两点与原点的连线斜率满足k_OA＞k_OB，②正确
对于③，由于函数y=

1-(x-1)2

在x∈[1，2]上为减函数，可得当x₂＜x₁时，f（x₂）＞f（x₁）．
因此（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0，可得③正确；
对于④，由于结论与③矛盾，故④不正确
综上所述，正确的命题为②③
故选：B

点评：本题给出特殊函数，判断几个结论正确与否，着重考查了函数的单调性与图象的作法、直线的斜率公式等知识，属于中档题．