Question

在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意知知|QF|=|QP|，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=＞|EF|=2，由椭圆定义法知，Q点的轨迹是以E，F为焦点实轴长的椭圆，求出，写出点Q的轨迹方程；（2）设出M、N点坐标和直线MN方程，代入曲线T的方程，整理成关于x的二次方程，利用根与系数关系将，用参数表示出来，利用判别式大于0列出关于参数的不等式，再利用题中的向量条件用参数把P点坐标表示出来，代入曲线T的方程，得出关于参数的等式，代入判别式得到关于的不等式，求出的范围.

试题解析:（1）点在线段的垂直平分线上，则，又，

则，故可得点的轨迹方程为.

（2）令经过点的直线为，则的斜率存在，设直线的方程为，

将其代入椭圆方程整理可得

设，则，故

（1）当时，点关于原点对称，则

（2）当时，点不关于原点对称，则

由，得，故

则，因为在椭圆上，故

化简，得，又，故得 ①

又，得 ②

联立①②两式及，得，故且

综上（1）（2）两种情况，得实数的取值范围是.

考点：1.椭圆定义与标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.运算求解能力.