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已知函数.

(Ⅰ)当时,求的单调递增区间;

(Ⅱ)求证:曲线总有斜率为的切线;

(Ⅲ)若存在,使成立,求的取值范围.

解:(Ⅰ)当时,函数.          

.                        ……………………………………2分

     令,解得.   ……………………………………3分

所以,函数的单调递增区间是.

……………………………………4分

(Ⅱ)

,即.

因为

所以恒成立.               ……………………………………6分

所以方程对任意正数恒有解.……………………………………7分

所以 曲线总有斜率为的切线.      ……………………………………8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:.

,解得.    

.                                       ……………………………………9分

因为,所以当时,的变化情况如下表

+

0

-

0

+

因为

所以,对于任意.即此时不存在,使成立.

                                          ……………………………………11分

时,的变化情况如下表

+

0

-

因为

所以,函数上的最小值是.          

因为存在,使成立,

所以,.

所以,.                             ……………………………………13分

所以的取值范围是.              ……………………………………14分

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