Question

在△ABC中，有下列命题：
①A＞B的充要条件为sinA＞sinB；          ②A＜B的充要条件为cosA＞cosB；
③若A，B为锐角，则sinA+sinB＞cosA+cosB；   ④tan

A+B

2

tan

C

2

为常数．
其中正确的命题的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由题意，可借助三角函数的相关公式对四个命题 真假性作出判断
①命题判断可分两类，角A是钝角与不是钝角两类证明；②命题可由余弦函数在（0，π）上是减函数得出命题是真命题；③命题可由角C的取值未定，无法得了A，B两角和的范围，真假性无法判断；④命题可由两角和为

π

2

，故两角正切值互为倒数作出判断

解答：解：在△ABC中，
①A＞B的充要条件为sinA＞sinB；此是一个真命题，若A＞B，当A不超过90°时，显然可得出sinA＞sinB，当A是钝角时，由于

π

2

＞π-A＞B，可得sin（π-A）=sinA＞sinB，即 A＞B是sinA＞sinB的充分条件，当sinA＞sinB时，亦可得 A＞B，由此知 A＞B的充要条件为sinA＞sinB       
②A＜B的充要条件为cosA＞cosB；上命题是真命题，由于余弦函数在（0，π）上是减函数，故A＜B的充要条件为cosA＞cosB；
③若A，B为锐角，则sinA+sinB＞cosA+cosB；此命题是假命题，由于角C的范围不确定，无法判断sinA+sinB＞cosA+cosB是否成立；
④tan

A+B

2

tan

C

2

为常数，此命题正确，由于

A+B

2

+

C

2

=

π

2

，可得tan

A+B

2

tan

C

2

为常数
综上知①②④是正确命题
故选C

点评：本题的考点是命题的真假判断与应用，考查了充要条件的判断，正、余弦函数大小的比较等，解题的关键是理解三角函数的性质，灵活运用三角函数的性质作出判断，本题考查了判断推理的能力及分类讨论的思想