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    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为
    		2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1•k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
    分析：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
    |c|
    		2
    =
    		2
    ，解得c，进一步求得a，b的值，从而写出椭圆C的方程；
    （Ⅱ）由
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    y=x
    解得x=y=
    2
    		6
    3
    ，或x=y=-
    2
    		6
    3
    ，表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
    解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
    |c|
    		2
    =
    		2
    ，解得c=2．又∵e=
    c
    a
    =
    		2
    2
    ，∴a=2
    		2
    ，∴b=2．
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．（6分）
    （Ⅱ）由
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    y=x
    解得x=y=
    2
    		6
    3
    ，或x=y=-
    2
    		6
    3
    ，
    不妨设M(
    2
    		6
    3
    ，
    2
    		6
    3
    )， N(-
    2
    		6
    3
    ，-
    2
    		6
    3
    )    ，P（x，y），
    ∴kPM•kPN=
    y-
    2
    		6
    3
    x-
    2
    		6
    3
    •
    y+
    2
    		6
    3
    x+
    2
    		6
    3
    =
    y2-
    8
    3
    x2-
    8
    3
    ，
    由
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ，即x2=8-2y2，代入化简得k1•k2=kPM•kPN=-
    1
    2
    为定值．（12分）
    点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
    （1）求椭圆离心率e；
    （2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
    OP
    •
    OQ
    =-
    5
    3
    求椭圆C的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
    F1F2
    +
    F2Q
    =
    0
    ．
    （1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
    		3
    y-3=0相切，求椭圆C的方程；
    （2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
    1
    |F2M|
    +
    1
    |F2N|
    为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•盐城一模）设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
    		5
    +2
    		5
    +2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
    PF1
    |+|
    PF2
    |=4    ，离心率e=
    		3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
    PF1
    •
    PF2
    =-
    5
    4
    ，求点P的坐标；
    （3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
    		2
    2
    ，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
    		3
    y-3=0    相切．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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