Question

20．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且边BC上的高为$\frac{1}{2}$a．
（1）若A=$\frac{π}{2}$，求$\frac{c}{b}$的值；
（2）若$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$=2$\sqrt{2}$，求A的大小．

Answer 1

分析 （1）根据一对直角相等，一对公共角，得到三角形BAD与三角形BCA相似，由相似得比例得到关系式，再利用勾股定理列出关系式，代入得到b=c，即可确定出所求式子的值；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入表示出b²+c²，已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理求出A的值即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠ADC=90°，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{\frac{a}{2}}{c}$=$\frac{b}{a}$，
整理得：2bc=a²，
把a²=b²+c²代入得：2bc=b²+c²，即（b-c）²=0，
解得：b=c，
则$\frac{c}{b}$=1；
（2）∵△ABC中，$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴a²=2bcsinA，
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴b²+c²=a²+2bccosA=2bcsinA+2bccosA，
∵$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{bc}$=2sinA+2cosA=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即sin（A+$\frac{π}{4}$）=1，
∴A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
则A=$\frac{π}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．