Question

10．已知等差数列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁和a₄的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|11-$\frac{1}{2}$a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过将a₂=2+a₁、a₄=6+a₁代入${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₄、计算可知a₁=2，进而可知数列{a_n}是以首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=|11-n|，通过去绝对值符号可知当n≤11时b_n=11-n，当n≥12时b_n=n-11，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是公差d=2的等差数列，
∴a₂=2+a₁，a₄=6+a₁，
又∵a₂是a₁和a₄的等比中项，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₄，即（2+a₁）²=a₁（6+a₁），
整理得：2a₁=4，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以首项、公差均为2的等差数列，
∴其通项公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）可知b_n=|11-$\frac{1}{2}$a_n|=|11-n|，
∴当n≤11时，b_n=11-n，
∴T_n=$\frac{n（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}$=$\frac{n（11-1+11-n）}{2}$=$\frac{n（21-n）}{2}$；
当n≥12时，b_n=n-11，
∴T_n=T₁₁+b₁₂+b₁₃+…+b_n
=$\frac{n（1-11+n-11）}{2}$+2T₁₁
=$\frac{n（n-21）}{2}$+2•$\frac{11（21-11）}{2}$
=$\frac{n（n-21）}{2}$+110；
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（21-n）}{2}，}&{n≤11}\\{\frac{n（n-21）}{2}+110，}&{n≥12}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．