Question

15．数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*），则$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2013}}$=$\frac{2015}{2013}$．

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n+2}{n+1}$、$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2•$\frac{n+1}{n}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2•$\frac{n}{n-1}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2•$\frac{3}{2}$，利用累乘法可知a_n=（n+1）•2^n-1，利用错位相减法可知S_n=a₁+a₂+…+a_n=n•2ⁿ，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n+2}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2•$\frac{n+1}{n}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2•$\frac{n}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2•$\frac{3}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2^n-1•$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=2^n-1•$\frac{n+1}{2}$•a₁=（n+1）•2^n-1，
记S_n=a₁+a₂+…+a_n
=2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+（n+1）•2^n-1，
∴2S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
∴-S_n=S_n-2S_n
=2+2¹+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ
=-n•2ⁿ，
∴S_n=n•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2013}}$=$\frac{{a}_{2014}}{{S}_{2013}}$
=$\frac{2015•{2}^{2013}}{2013•{2}^{2013}}$
=$\frac{2015}{2013}$，
故答案为：$\frac{2015}{2013}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．