Question

7．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，则f（$\frac{2}{3}$），f（$\frac{3}{2}$），f（$\frac{1}{3}$）的大小关系是（　　）

• A． f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）
• B． f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{1}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）
• C． f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）
• D． f（$\frac{1}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．

解答 解：∵y=f（x+1）是偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），
即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1为减函数，
∴当x≤1时函数f（x）为增函数．
∵f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$+1）=f（-$\frac{1}{2}$+1）=f（$\frac{1}{2}$），且$\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，
∴f（$\frac{2}{3}$）＞f（$\frac{3}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$），
故选：A．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．