Question

4．设f（x）是定义在N^*上的函数，若f（1）=1，且对任意的x，y都有：f（x）+f（y）=f（x+y）-xy，求f（x）

Answer 1

分析 利用赋值法，令y=1得f（x+1）-f（x）=x+1，然后利用累加法进行求解即可．

解答 解：以y=1代入，得：f（x）+f（1）=f（x+1）-x．
即f（x）+1=f（x+1）-x，
f（x+1）-f（x）=x+1，
则f（x）-f（x-1）=x，
f（x-1）-f（x-2）=x-1，
f（x-2）-f（x-3）=x-2，
…
f（2）-f（1）=2，
上面所有式子相加，
得：f（x）-f（1）=[（x）+（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+3+2]，
即f（x）=1+2+3+…+（x-1）+x=$\frac{x（1+x）}{2}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用赋值法以及累加法是解决本题的关键．