Question

13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=2B，C为钝角，求$\frac{c}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 根据正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{sin（A+B）}{sinB}$=4cos²B-1，由已知及三角形内角和定理可得0＜B＜30°，从而可求4cos²B-1的取值范围，即可得解．

解答 解：三角形ABC中，A=2B，C为钝角，
因为：A+B+C=180°，
所以：2B+B+C=180°，
所以：C=180°-3B＞90°，
解得：0＜B＜30°，
根据正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
所以：$\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{sin（A+B）}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{sin2BcosB+cos2BsinB}{sinB}$=2cos²B+2cos²B-1=4cos²B-1，
因为：0＜B＜30°
所以：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosB＜1，
所以：$\frac{3}{4}$＜cos²B＜1
所以：3＜4cos²B＜4
所以：2＜$\frac{c}{b}$=4cos²B-1＜3，
所以：$\frac{c}{b}$的取值范围是（2，3）．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．