Question

8．已知集合A={y|y=x²+（a+1）x+b，x∈R}，B={y|y=-x²-（a-1）x-b，x∈R}，若A∩B={x|-1≤x≤2}，求常数a，b的值．

Answer 1

分析 利用二次函数性质求出集合A与B中y的范围，根据A与B的交集即可求出a与b的值．

解答 解：由A中y=x²+（a+1）x+b=（x+$\frac{a+1}{2}$）²+b-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$≥b-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$，
即A={y|y≥b-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$}；
由B中的y=-x²-（a-1）x-b=-[x²+（a-1）x+$\frac{（a-1）^{2}}{4}$]+$\frac{（a-1）^{2}}{4}$-b=-（x+$\frac{a-1}{2}$）²+$\frac{（a-1）^{2}}{4}$-b≤$\frac{（a-1）^{2}}{4}$-b，
即B={y|y≤$\frac{（a-1）^{2}}{4}$-b}，
∵A∩B={x|-1≤x≤2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{（a+1）^{2}}{4}=-1}\\{\frac{（a-1）^{2}}{4}-b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-1．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，是基础题．