【题目】已知数列{an}的首项, , .
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,若Sn<100,求最大正整数n;
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)99;(3)不存在
【解析】试题分析:(1)根据可得,根据,可知,即,据此即可求证;(2)根据等比数列的通项公式可得,进而即可表示出,对其进行整理可得,由于,所以有,即,至此,即可得到最大正整数 ;(3)首先假设存在,根据等差数列的性质可得,再根据等比的性质可得,结合(2)中得到的通项公式可将其化简为,接下来再根据均值不等式可知,当且仅当时等号成立,至此,再根据互不相等即可得结果.
试题解析:(1)因为=+,所以-1=-.又因为-1≠0,所以-1≠0(n∈N*).
所以数列为等比数列.
(2)由(1)可得-1=·n-1,所以=2·n+1.
Sn=++…+=n+2=n+2·=n+1-,
若Sn<100,则n+1-<100,因为函数y= n+1-单调增, 所以最大正整数n的值为99.
(3)假设存在,则m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,
因为an=,所以=2,
化简得3m+3n=2·3s,因为3m+3n≥2·=2·3s,
当且仅当m=n时等号,又m,s,n互不相等,所以不存在.
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【题目】某商场举行促销活动,有两个摸奖箱,箱内有一个“”号球,两个“”号球,三个“”号球、四个无号球,箱内有五个“”号球,五个“”号球,每次摸奖后放回,每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会,消费额满元有一次箱内摸奖机会,摸得有数字的球则中奖,“”号球奖元,“”号球奖元,“”号球奖元,摸得无号球则没有奖金。
(1)经统计,顾客消费额服从正态分布,某天有位顾客,请估计消费额(单位:元)在区间内并中奖的人数.(结果四舍五入取整数)
附:若,则,.
(2)某三位顾客各有一次箱内摸奖机会,求其中中奖人数的分布列.
(3)某顾客消费额为元,有两种摸奖方法,
方法一:三次箱内摸奖机会;
方法二:一次箱内摸奖机会.
请问:这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
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【题目】如图,已知梯形中,,,,四边形为矩形,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值;
(3)若点在线段上,且直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.
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【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)上点M(3,m)到焦点F的距离为4.
(Ⅰ)求抛物线方程;
(Ⅱ)点P为准线上任意一点,AB为抛物线上过焦点的任意一条弦,设直线PA,PB,PF的斜率为k1,k2,k3,问是否存在实数λ,使得k1+k2=λk3恒成立.若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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