Question

如图，在矩形中，，是的中点，以为折痕将向上折起，使到点位置，且.

（Ⅰ）若是的中点，求证：面；

（Ⅱ）求证：面面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取中点，连接GF，GC，

由四边形AECG为平行四边形，

在中，GF//AP，

推出平面APE//平面FGC ；

又所以，CF//面APE.

（Ⅱ）取AE中点O，连接PO,得到

取BC的中点H，连OH，PH，得到

由推出, ,  可得

所以，.

（Ⅲ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取中点，连接GF，GC，

四边形AECG为平行四边形，

在中，GF//AP，

又，

所以平面APE//平面FGC   

又所以，CF//面APE.                  4分

（Ⅱ）取AE中点O，连接PO,则

取BC的中点H，连OH，PH，

因为所以,从而,  

又BC与AE相交，可得

所以，.                           9分

（Ⅲ） .          13分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，体积的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离及体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。折叠问题，要注意折叠前后几何量的“变与不变”。本题（3）体积计算中运用了“等体积法”，化难为易。