Question

已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．

(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；

(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

Answer 1

解：(1)∵l_AB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，

∴k_AD＝－3，点(－1,1)在边AD所在的直线上，∴AD所在直线的方程是

y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.

由得A(0，－2)．

∴|AP|＝＝2，

∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)²＋y²＝8.

(2)证明：直线l的方程可化为k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，

由|QP|²＝(3－2)²＋2²＝5＜8知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交，

设l与圆P的交点为M，N，

|MN|＝2 (d为P到l的距离)，

设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin θ＝ sin θ，当θ＝90°时，d最大，|MN|最短．

此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，

即－，故l的方程为y－2＝－(x－3)，

即l：x＋2y－7＝0.