Question

设函数f（x）=2x³-12x+c是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求c的值及函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-2x³+12x+c=-2x³+12x-c．解得c=0．
因为f'（x）=6x²-12，所以切线的斜率k=f'（1）=-6

因为f（1）=-10，所以切点为（1，-10）．
所以切线方程为y+10=-6（x-1）．
即6x+y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x²-12．
所以．
列表如下：

x
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（11分）
所以函数f（x）的单调增区间是和．
因为f（-1）=10，，f（3）=18．
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

分析：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），可以解得c=0，从而f'（x）=6x²-12，根据导数的几何意义可求出点（1，f（1））处的切线方程为6x+y+4=0；
（Ⅱ）解不等式6x²-12＞0，即可求出函数f（x）的单调递增区，将函数f（x）在[-1，3]上的极值与区间端点的函数值加以比较，即可得出函数的最大值和最小值．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系，属于难题．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．