Question

ABC—A₁B₁C₁是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC₁的中点.

(1)求证：AB₁D⊥平面ABB₁A₁；

(2)求点C到平面AB₁D的距离；

(3)求平面AB₁D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.

Answer 1

(1)证明:取AB₁中点M，则=++.?

又=++,

两式相加可得2=+=+.?

由于2·=(+)·=0,

2·=(+)·(-)=||²-||²=0.

∴DM⊥AA₁,DM⊥AB.

∴DM⊥平面ABB₁A₁，而DM平面AB₁D.

∴平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁.

(2)解析:一方面A₁B⊥DM，另一方面

·=(-)·(+)=||²-||²=0,

∴A₁B⊥AB₁.∴A₁B⊥平面AB₁D.

∴A₁B是平面AB₁D的法向量.

∴C点到平面AB₁D的距离d=||= ==.?

(3)解析:平面C的法向量为，而平面AB₁D的法向量是，设所求二面角为θ(锐角),则

|cos(π-θ)|=||

=||==.?

∴θ=45°.