Question

已知函数f(x)={

ax，x＜0 (a-3)x+4a，x≥0

，满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由条件可得f（x）为R上的减函数，可得a满足①0＜a＜1；②a-3＜0；③a⁰≥（a-3）0+4a．联立①②③，解得a的取值范围．

解答：解：任设x₁＜x₂，则由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0可得 f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）为R上的减函数．
∴a满足①0＜a＜1；②a-3＜0；③a⁰≥（a-3）0+4a．联立①②③，
解得0＜a≤

1

4

，
故a的取值范围是(0，

1

4

]．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，属于中档题．