Question

【题目】设函数f（x）=ax2+lnx．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y=-的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x1 ， x2 ， x3…xk ， 使得f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+lnx，，f′（1）=﹣1，
所以切线的斜率为﹣1．
又f（1）=﹣1，所以切点为（1，﹣1）．
故所求的切线方程为：y+1=﹣（x﹣1）即x+y=0．
（Ⅱ），x＞0，a＜0．
令f′（x）=0，则x=．
当x(0,)时，f′（x）＞0；当x(,+)时，f′（x）＜0．
故x=为函数f（x）的唯一极大值点，
所以f（x）的最大值为f()=-．
由题意有，解得a．
所以a的取值范围为(-,-)
（Ⅲ）当a=1时，．记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．
∵当x∈[1，10]时，，∴y=g（x）在[1，10]上为增函数，
即y=f′（x）在[1，10]上为增函数
又，
所以，对任意的x∈[1，10]，总有．
所以f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≤，
又因为k＜100，所以．
故在区间[1，10]上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）个正数x1 ， x2 ， x3…xk ．
【解析】（Ⅰ）当a=﹣1时， ， f′（1）=﹣1，由此能求出函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ） ， x＞0，a＜0．令f′（x）=0，则x= ． 由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时， ． 记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能够推导出在区间[1，10]上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）个正数x1 ， x2 ， x3…xk ．