Question

11．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边长，a=c，且满足bsinA=$\sqrt{3}$acosB．点O为△ABC外一点，OA=2OC=4，求平面四边形ABCO的面积的最大值．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，结合sinA＞0，可求tanB=$\sqrt{3}$，结合B的范围可求B的值，进而可得△ABC为正三角形，设∠AOC=α，在△AOC中，由余弦定理可得AC²的值，利用三角形面积公式可求S_△ABC，S_△AOC，从而可求平面四边形OABC的面积S=5$\sqrt{3}$+8sin（$α-\frac{π}{3}$），利用正弦函数的性质即可得解其最大值．

解答 （本题满分为10分）
解：∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
∴由正弦定理可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵A∈（0，π），sinA＞0，
∴可得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，即：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
∵a=c，
∴△ABC为正三角形，…4分
设∠AOC=α，在△AOC中，由余弦定理可得：AC²=16+4-16cosα=20-16cosα，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²sin$\frac{π}{3}$=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosα，S_△AOC=$\frac{1}{2}×4×2sinα$=4sinα，
∴平面四边形OABC的面积S=5$\sqrt{3}$+4（sin$α-\sqrt{3}cosα$）=5$\sqrt{3}$+8sin（$α-\frac{π}{3}$），…8分
∴可得：当$α=\frac{5π}{6}$时，平面四边形OABC的面积S_max=5$\sqrt{3}$+8．…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．