Question

设函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1]都有f（x）≤成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），∴c=0． （2分）
又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴得 ． （5分）
（2）f（x）=-x³+6x，
依题意 对任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤k对任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即 k≥-（x²-3）²+9对任意x∈（0，1]恒成立，∴k≥5． （9分）
（3）|f（x）-mx|≤16，即-16≤f（x）-mx≤16，
∴，
即 对任意x∈（0，3]恒成立，（11分）
记 ，其中x∈（0，3]，则 ．
∴当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，2）上单调递增，
当x∈（2，3）时，g'（x）＜0，g（x）在（2，3）上单调递减，
∴g（x）在（0，3]上的最大值是g（2）=-6，则m≥-6． （13分）
记 ，
其中x∈（0，3]，则 ，
所以 h（x）在（0，3）上单调递减，
∴即h（x）在（0，3]上的最小值是 ，则 ；（16分）
综上，可得所求实数m的取值范围是．（18分）
分析：（1）求a，b，c的值，可由函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2转化为方程解出a，b，c的值；
（2）若对任意x∈（0，1]都有 f（x）≤成立，求实数k的取值范围，可转化为对任意x∈（0，1]都有xf（x）≤k，下转化为求函数xf（x）在（0，1]的最大值，判断出参数的取值范围问题；
（3）若对任意x∈（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求实数m的取值范围，可先将问题转化为对任意x∈（0，3]恒成立，求出参数m的取值范围来．
点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．