Question

已知动圆P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于

1

3

 ， |OP|≤r（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x-2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质即可得出；
（2）利用点到直线的距离公式、两点间的距离公式先计算出三角形的面积，利用几何概率的计算公式得出概率，进而利用导数求得其最大值．

解答：解：（1）如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D两点，
过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r²=1+a²．①
∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于

1

3

，设

CD

为劣弧，∴∠CPD=90°，
过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r²=2b²．②
联立①②消去r可得：2b²=1+a²，即为a，b所满足的关系式．
（2）点P到直线x-2y=0的距离|PA|=

|a-2b|

5

=d，
∵PA⊥OA，∴|OA|=

r2-|PA|2

=

r2-d2

，
∴S_△OAP=

1

2

|OA| |PA|=

1

2

d

r2-d2

，
∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P=

S△OAP

S圆P

=

1 2 d r2-d2

πr2

≤

1

2π

×

d2+(r2-d2)

2r2

=

1

4π

，当且仅当d²=r²-d²，即

r2=1+a2 r2=2b2 r2=2( |a-2b| 5 )2

，解得

a2= 9-4 5 4 5 -7 b2= 1 4 5 -7

∴P的最大值为

1

4π

．

点评：熟练掌握垂径定理，勾股定理、等腰直角三角形的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、几何概率的计算公式、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．