Question

6．设函数f（x）=lnx（lnx-1）在点（1，0）处的切线是一次函数g（x）=ax+b．
（1）求a，b的值；
（2）令F（x）=x[f′（x）+g′（x）]，求F（x）在（0，+∞）内的极值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（1）=-1，即a=-1，再由（1，0）在直线g（x）=ax+b上求得b值；
（2）求出f′（x），g′（x），代入F（x）=x[f′（x）+g′（x）]，然后求F（x）的导函数，由导函数的符号判断函数的单调性，求出极值点，代入函数F（x）求得极值．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（lnx-1），得f′（x）=$\frac{1}{x}（lnx-1）+\frac{1}{x}lnx=\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}$．
∴f′（1）=-1，即a=-1．
又（1，0）在直线g（x）=ax+b上，∴a+b=0，即b=-a=1；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}$，g′（x）=-1，
∴F（x）=x[f′（x）+g′（x）]=x[$\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}-1$]=2lnx-x-1．
F′（x）=$\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}$，
当x∈（0，2）时，F′（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0．
∴当x=2时，函数F（x）取得极大值为F（2）=2ln2-3，无极小值．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，是中档题．