Question

如图，M（a，0）（a＞0)是抛物线y²=4x对称轴上一点，过M作抛物线的弦AMB，交抛物线与A，B．

（1）若a=2，求弦AB中点的轨迹方程；

（2）过M作抛物线的另一条割线CMD（如图），与抛物线交于CD，若AD与y轴交与点E，连ME，BC，求证：ME∥BC．

Answer 1

x=．

解析:

（1）当AB斜率存在时，由a=2,设其方程为    y=k(x－2)，弦AB中点为（x₀,y₀)

由得          

△=16（k²＋1)²－16k⁴=32k²＋16＞0

                  

消去k得y₀²=2x₀－4(x₀＞2)                                

当AB斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），满足y₀²=2x₀－4．

综上所述，弦AB中点的轨迹方程y²=2x－4．             

（2）证明：设A（t₁²,－2t),B（t₂², 2t₂),C（t₃²,－2t₃),D（t₄²,－2t₄),其中t₁，t₂，t₃，t₄均为正数，

用两点式求得AB的方程为 y(t₂－t₁)＋2t₁t₂=2x

CD的方程为y(t₄－t₃)＋2t₃t₄=2x                       

AB,CD都经过点M，故t₁t₂= t₃t₄=a，       

AD的方程为y(t₄－t₁)＋2t₁t₄=2x

AD与y轴交点为E（0，），k_ME=，而k_BC===           

∴k_ME=k_BC ，ME∥BC．