Question

（2012•温州一模）如图，过点A（0，-1）的动直线l与抛物线C：x²=4y交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点．
（1）求证：x₁x₂=4
（2）已知点B（-1，1），直线PB交抛物线C于另外一点M，试问：直线MQ是否经过一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，设直线L的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系即可求证
（II）设M（x3，

x32

4

），由P，M，B三点共线可得K_PB=K_PM可得x₁x₃+x₁+x₃+4=0，结合（I）中x₁x₂=4整理可得

x2x3

4

=-(x2+x3)-1，求出直线PQ的方程即可求解

解答：解：（I）由题意可得，直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx-1
由

y=kx-1 x2=4y

可得x²-4kx+4=0
∴x₁x₂=4
（II）设M（x3，

x32

4

）
∵P，M，B三点共线
∴

x12 4 -1

x1+1

=

x12 4 - x32 4

x1-x3

=

x1+x3

4

化简可得，x₁x₃+x₁+x₃+4=0（*）
∵x₁x₂=4
∴x1=

4

x2

代入（*）可得x₁x₃+4（x₁+x₃）+4=0
∴

x2x3

4

=-(x2+x3)-1

x22 4 - x32 4

x2-x3

=

x2+x3

4

∴直线MQ的方程为y-

x22

4

=

x2+x3

4

（x-x₂）即y=

x2+x3

4

x-

x2x3

4

∵

x2x3

4

=-(x2+x3)-1
∴y=

x2+x3

4

x-

x2x3

4

=

x2+x3

4

x+x2+x3+1
当x=-4时，y=1
∴直线MQ经过一个定点（-4，1）

点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，直线方程的应用及一定的逻辑推理与运算的能力