Question

3．在平面直角坐标系中，直线$\sqrt{2}x-y+m=0$不过原点，且与椭圆$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$有两个不同的公共点A，B．
（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；
（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线$\sqrt{2}x-y+m=0$不过原点，知m≠0，将$\sqrt{2}x-y+m=0$与$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$联立，得：$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，由此利用根的判别式，能求出实数m的范围组成的集合M．
（2）假设存在定点P（x₀，y₀）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，则k_PA+k_PB=0，令$A（{x_1}，\sqrt{2}{x_1}+m），B（{x_2}，\sqrt{2}{x_2}+m）$，得：$\begin{array}{l}2\sqrt{2}{x_1}{x_2}+（m-\sqrt{2}{x_0}-{y_0}）（{x_1}+{x_2}）2{x_0}（{y_0}-m）={0}\end{array}$，由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标．

解答 解：（1）因为直线$\sqrt{2}x-y+m=0$不过原点，所以m≠0，
将$\sqrt{2}x-y+m=0$与$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$联立，消去y得：$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，
所以△=8m²-16（m²-4）＞0，解得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，
所以实数m的范围组成的集合M是$（{-2\sqrt{2}，0}）∪（{0，2\sqrt{2}}）$；
（2）假设存在定点P（x₀，y₀）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，
即k_PA+k_PB=0，令$A（{x_1}，\sqrt{2}{x_1}+m），B（{x_2}，\sqrt{2}{x_2}+m）$，
所以$\frac{{\sqrt{2}{x_1}+m-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}+\frac{{\sqrt{2}{x_2}+m-{y_0}}}{{{x_2}-{x_0}}}=0$，
整理得：$\begin{array}{l}2\sqrt{2}{x_1}{x_2}+（m-\sqrt{2}{x_0}-{y_0}）（{x_1}+{x_2}）2{x_0}（{y_0}-m）={0^*}\end{array}$，
由（1）知x₁，x₂是$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$的两个根，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}m}}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$，
代入（*）化简得$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_0}-{x_0}）m+2（{x_0}{y_0}-\sqrt{2}）=0$，
由题意$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_0}-{x_0}=0}\\{{x_0}{y_0}-\sqrt{2}=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=1}\\{{y_0}=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=-1}\\{{y_0}=-\sqrt{2}}\end{array}}\right.$
所以定点P的坐标为$P（1，\sqrt{2}）$或$P（-1，-\sqrt{2}）$，
经检验，满足题意，
所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，
坐标为$P（1，\sqrt{2}）$或$P（-1，-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．