Question

如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n个数，则第n群中n个数的和是

 

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Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：观察图例，我们可以得到每一行的数第一个构成一个以1为首项，以2为公比的等比数列，每一行的从右边的第k个数都构成一个以2^k为公差的等差数列，进而可分析出第n群中n个数的和的表达式．

解答： 解：观察图例，我们可以得到每一行的数第一个构成一个以1为首项，以2为公比的等比数列，
每一行的从右边的第k个数都构成一个以2^k为公差的等差数列，
故第n群的第一个数为：2^n-1，
第n群的第二个数为：2^n-2+2^n-1=3•2^n-2，
第n群的第三个数为：2^n-3+2×2^n-2=5•2^n-3，
…
第n群的第n-1个数为：2+（n-2）×2²=（2n-3）•2，
第n群的第n个数为：1+（n-1）×2=2n-1，
故第n群中n个数的和S_n=2^n-1+3•2^n-2+5•2^n-3+…+（2n-3）•2+（2n-1），…①
故2S_n=2ⁿ+3•2^n-1+5•2^n-2+…+（2n-3）•2²+（2n-1）•2，…②
②-①得：
S_n=2ⁿ+2（2^n-1+2^n-2+…+2²+2）-（2n-1）=3•2ⁿ-2n-3，
故答案为：3•2ⁿ-2n-3

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．