Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据余弦定理求出角A的余弦值，然后可得到角A的值．
（2）先根据正弦定理用角B表示出边b，c，然后代入整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由正弦函数的性质可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由b²+c²-a²=bc及余弦定理，
得cosA=

b2+c2-a2

2bc

= 

1

2

，
而0＜A＜π，则A=

π

3

；
（Ⅱ）由a=

3

，A=

π

3

及正弦定理，
得

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2，
而C=

2π

3

-B，则
b=2sinB，c=2sin（

2π

3

-B）（0＜B＜

2π

3

）．
于是y=a+b+c=

3

+2sinB+2sin（

2π

3

-B）=2

3

sin（B+

π

6

）+

3

，
由0＜B＜

2π

3

，得

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
当B+

π

6

=

π

2

即B=

π

3

时，ymax=3 

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．在三角形中考虑问题时这两个定理用的最多．