Question

用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

Answer 1

解析:本题应先设出一个未知数(容器底面的一边长),列出容器容积的函数解析式再求解.

设一边为x m ,另一边为(x+0.5) m ,高为(3.2-2x) m .?

由得0＜x＜1.6.?

设容器的容积为y m³ ,?

则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0＜x＜1.6),?

整理得y=-2x³+2.2x²+1.6x,?

所以y′=-6x²+4.4x+1.6.?

令y′=0,有15x²-11x-4=0,?

所以x=1或x=-(舍去).?

当0＜x＜1时,y′＞0,函数单调递增;?

当1＜x＜1.6时,y′＜0,函数单调递减 ,?

因此,当x=1时,y取得最大值1.8,这时高为1.2 m.?

答:容器的高为1.2 m时容积最大,最大容积为1.8 m³.?

点评:在选择什么量为自变量时,选法不是唯一的.但考虑到条件中容器底面矩形两边关系的应用,没有选高为自变量.此题也可用不等式的知识来求最大值,但繁简程度有所不同.