Question

18．已知A={x|x²+（p+1）x+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0}．
（1）若A为∅，则p的取值范围是什么？
（2）若A中只有一个元素，则p的取值范围是什么？

Answer 1

分析 （1）A为∅时，方程${x}^{2}+（p+1）x+\frac{{p}^{2}}{4}=0$无解，从而△＜0，这样求出p的范围即可；
（2）A只有一个元素时，方程只有一解，从而△=0，这样求出p即可．

解答 解：（1）若A为∅，则：△=（p+1）²-p²＜0；
解得$p＜-\frac{1}{2}$；
∴p的取值范围是（$-∞，-\frac{1}{2}$）；
（2）若A中只有一个元素，则：方程${x}^{2}+（p+1）x+\frac{{p}^{2}}{4}=0$有二重根；
∴△=（p+1）²-p²=0；
∴$p=-\frac{1}{2}$；
∴p的取值范围为${-\frac{1}{2}}$．

点评 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，空集的概念，一元二次方程的解的情况和判别式△的关系．