Question

8．数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+3{a}_{n-1}}$（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为$\frac{1}{3n-2}$．

Answer 1

分析 通过对等式a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+3{a}_{n-1}}$（n≥2）两边同时取倒数、整理可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+3（n≥2），进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、3为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+3{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1+3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+3（n≥2），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
故答案为：$\frac{1}{3n-2}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．