Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 把已知点的坐标代入椭圆方程，再由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$得到a，b的关系，然后联立方程组求得a²，b²得答案．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$ ①，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，即a²=2b² ②，
联立①②可得：a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，涉及椭圆方程的求解问题，要注意隐含条件a²=b²+c²的应用，是基础题．