Question

5．已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
2）判断f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）证明单调性可用定解决．

解答 解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=$-\frac{{{2^{-x}}}}{{{4^{-x}}+1}}$=$-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
由f（0）=f（-0）=-f（0）得f（0）=0
又f（1）=f（-2+1）=f（-1）=-f（1）
得f（1）=f（-1）=0，∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2^x}{{{4^x}+1}}}\\{-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}}\\{\;}\\ 0\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{x∈（0，1）}\\{\;}\\{x∈（-1，0）}\\{\;}\\{x∈\{-1，0，1\}}\end{array}$
（2）当x∈（0，1）时，$f（x）=\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
任取x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）
=$\frac{{{2^{x_2}}}}{{{4^{x_2}}+1}}$-$\frac{{{2^{x_1}}}}{{{4^{x_1}}+1}}$=$\frac{{（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）（1-{2^{{x_1}+{x_2}}}）}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，1）上是减函数．

点评 本题考查奇偶性，函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．